三角形のフェルマー点
このページでは
△ABCの内角は、いずれも 120°未満である
と仮定しておきます。
（そうしておかないと、このページが補注だらけになってしまうので……）
| 三角形のフェルマー点の定義（１） |
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△ABC内の点Pのうち、“PA+PB+PC”が最も短くなる点を、△ABCのフェルマー点と言う。 |
| 三角形のフェルマー点の定義（２） |
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△ABC内の点Pのうち、“∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°”となる点を、△ABCのフェルマー点という。 |
これら２つの主張は同値ですので、
どちらか一方を「定義」とすれば他方が「定理」となります。
（これらが同値である理由は、各自で考えてください。）
次の図にはフェルマー点が表示されています。
（ただし、頂点 A，B，C を動かして
△ABCの内角のいずれかが120°以上となるようにした場合は、
上記の意味での「フェルマー点」ではなくなります。以下同様。）
しかし、上の図を見ていても、
「本当に“PA+PB+PC”が最短になっているのかなぁ？」
「本当に“∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°”となっているのかなぁ？」
と、疑わしく感じる人もいるかもしれませんね。
実は上記の図は、次の定理を利用して描かれています。
作図方法を見れば、
「なるほど、“∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120°”に間違いない」
と納得できるでしょう。
| 定理（１） |
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△ABCにおいて、各辺を一辺とする正三角形を△ABCの外側に描くとき、３つの正三角形の外接円は、１点で交わる。（ → この交点が△ABCのフェルマー点である！） |
さらに、このページの図を描いているときに、
次の事実にも気が付いてしまいました！
| 定理（２） |
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△ABCにおいて、各辺を一辺とする正三角形を△ABCの外側に描くとき、△ABCの頂点とその対辺で作った正三角形の頂点とを結ぶ３直線は、１点で交わる。（ → この交点が△ABCのフェルマー点である！） |
俺は、この最後の定理は知りませんでした！
しかし調べてみると、かなり有名な事実だったようです……。
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